Arithmétique et définition
Définition: un nombre premier est un entier naturel qui ne peut être divisé que par 1 et lui-même. Concrètement, les dix premiers sont: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.Depuis l'Antiquité et probablement depuis plus longtemps, les hommes sont fascinés par ces nombres. En effet, que ce soit Euclide, Marin Mersenne ou encore Leonhard Euler, à chaque fois les mathématiciens découvrent de nouvelles propriétés aux nombres premiers. Ce que l'on sait:
1. il existe une infinité de nombres premiers,
2. tout nombre pair peut s'écrire comme somme de deux nombres premiers,
3. il n'existe aucune loi mathématique qui détermine leur apparition dans la suite des entiers.
A ce jour, le plus grand nombre premier découvert comporte 23 millions de chiffres !
Fonction de recherche des nombres premiers
A partir des propriétés vues précédemment, voyons comment coder une p'tite fonction pour trouver les nombres premiers dans l'intervalle 0 à 100.La technique utilisée dans la fonction PHP est de diviser un nombre par tous ceux qui le précèdent. Si le quotient de la division est différent de zéro, alors le nombre n'est pas un nombre premier.
<?php
/**
* Déterminer si un nombre est premier
* @param int $number nombre à tester
* @return boolean
*/
function isPrime($number) {
//boucle de 2 au nombre à tester
for ($i = 2; $i < $number; $i++) {
//test du qutotien de la division
if ($number % $i == 0) {
return FALSE;
}
}
//Aucun diviseur trouvé, c'est un nombre permier
return TRUE;
}
// boucle de 0 à 99
echo '<br>Nombre premier de 0 à 100: ';
for ($i = 3; $i < 100; $i++) {
if (isPrime($i)) {
echo $i.' ';
}
}
Résultat des 100 premiers nombres premiers
Nombre premier de 0 à 100: 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
Lorsque le nombre n'est pas trop grand, la fonction ci-dessus fonctionne bien, c-a-d tester tous les diviseurs possibles.
Plus les nombres deviennent grands, plus le nombre de tests à effectuer augmente. Ainsi, les algorithmes utilisant les propriétés des nombres premiers existent. Pour ceux que ça intéresse voici quelques tests de sa primalité qui ont été découverts: test de Fermat, test de Miller-Rabin, ...
A ce que j'ai compris, le nombre de test peut être réduit pour déterminer la distribution des nombres premiers en factorisant et en décomposant les nombres. Si un mathématicien passe par ici, ce serait sympa de nous expliquer un peu plus en détail ces algo.
